حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة القانون العام
تصادفنا الكثير من المعادلات التي يصعب حلها باستخدام التحليل وقد تأخذ منا وقتا أطول من اللازم في حلها بإكمال المربع ,مثل المعادلة التالية :
X2 – 8X + 2 = 0
ومن ذلك كانت الحاجة إلى قانون يسهل حل مثل هذه المعادلات وقد تم اكتشاف ما يسمى بالقانون العام لحل مثل تلك المعادلات .
القانون العام
يعتبر هذا القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية ذات المجهول الواحد بشكل عام سواء كانت من النوع الذي ذكرنا سابقا أو من النوع السهل وسنستعرض مجموعة من الأمثلة لتوضيح ذلك .
وقبل البدء بأمثلة سنستخدم خطوة بسيطة تجعل القانون سهل جدا وأسهل حلا في المعادلات وهذه الخطوه هي التعرف على المميز .
ماهو المميز ؟
المميز هو ماتحت الجذر في القانون العام ويرمز له ب( ∆ ) ويقرأ ( دلتا )
∆ = b2 – 4ac
حيث ان المعادلة تكون بالصيغة :
aX2 ∓ bX∓C=0
a هي معامل X2
B هي معامل X
C الحد المطلق
وتوجد ثلاث حالات في المميز هي :
1 ) إذا كانت 0 > ∆ أي إذا كان الدلتا عددا موجب أكبر من الصفر فإن المعادلة لها حلان حقيقيان غير متساويين .
2 ) إذا كانت = 0∆ أي إذا كان الدلتا تساوي الصفر فإن المعادلة لها حلان حقيقيان متساويين .
3 ) إذا كانت < 0 ∆ أي إذا كان الدلتا عددا سالب أصغر من الصفر فإن المعادلة ليس لها حل .
أمثلة
حل المعادلات التالية باستخدام القانون العام
1 ) x2 – 4x+ 6 =0 2) x2 – 4x – 5 =0
3) x2 – 4x + 4=0 4 ) 12 x2 + 5x -2 =0
الحل :
1 ) x2 – 4x+ 6 =0
a = 1 , b = -4 , c = 6
كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد المميز للمعادلة :
∆ = b2 – 4ac = (-4)2 - 4×1×6 =16-24<0
∴ ∆ < 0 وبالتالي كما ذكرنا سابقا إذا كانت الدلتا أصغر من الصفر فلايوجد حل للمعادلة .
∴ المعادلة ليس لها حل .
وهنا يتجلى لنا مدى أهمية أيجاد الدلتا ∆
2) x2 – 4x – 5 =0
a = 1 , b = -4 , c = -5
كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد المميز للمعادلة :
∆ = b2 – 4ac = (-4)2 - 4×1×-5 =16+24= 40 > 0
∴ المعادلة لها حلان غير متساويين
لأيجاد الحل نستخدم القانون العام كمايلي :
مجموعة الحل : {-1,5}
3) x2 – 4x + 4=0
a = 1 , b = -4 , c = 4
كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد المميز للمعادلة :
∆ = b2 – 4ac = (-4)2 - 4×1×4 =16 - 0= 0 = 0
∴ المعادلة لها حلان متساويان
لأيجاد الحل نستخدم القانون العام كمايلي :
مجموعة الحل : {2} .
4 ) 12 x2 + 5x -2 =0
a = 12 , b = +5 , c = -2
كما ذكرت سابقا نبدأ بإيجاد المميز للمعادلة :
∆ = b2 – 4ac = (5)2 - 4×12×-2 =25 + 96 = 121
∴ المعادلة لها حلان غير متساويين لأن ∆ > 0
لإيجاد الحل نستخدم القانون العام كمايلي :
